7.(Определение предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность)

1.Определение предела функции по Коши и по Гейне

1) Опр по Коши

Комбинирую различные окрестности точки а вида: Uδ(a) a R, Uδ(a), Uδ(a), Uδ(+∞), Uδ(-∞) , Uδ(∞) с различными окрестностями точки А вида: Uε(A),AR,Uε(-∞),Uε(+∞), Uε(∞) получим определение по Коши.

Опр: Если x Uδ(a) или Uδ(a) то получаем понятие правостороннего или левостороннего предела соответственно и пишут lim(x→a+)f(x)=A, lim(x→a-)f(x)=A

2)Опр по Гейне

Элемент A  R U {+∞, -∞,∞} называется приделом фун-ии f(x) при x→a , если для любой последовательности из области определения последовательность соответствующей последовательности фун-ии стремится к А . lim(n→∞)f(xn)=A.

Замечание : Определение предела по Гейне позволяет доказывать несуществование придела фун-ии, а именно

-  {Xn} (Xn→a ^ lim(n→∞)f(Xn) –не сущ)

-  {Xn},{Xn’} {Xn→a ^ Xn’→a => lim(n→+∞)f(Xn) ≠ lim(n→+∞)f(Xn’)}

2. Теорема: Определение предела по Коши и определение предела по Гейне эквивалентны