6.(Критерии существования предела числовой последовательности. Док-во критерия Коши)

1.Критерии существования предела числовой последовательности:

1)Существование предела ограниченной и монотонной последовательности

-Пусть {an} не убывающая (не возрастающая) ограниченная сверху(снизу) последовательность, тогда последовательность an сходится, причем lim(n)an=sup{an} (lim(n)an=inf {an})

-Пусть { an } не возрастающая ограниченная снизу последовательность, тогда последовательность an сходится, причем lim(n)an=inf {an}

Следствие1: для того чтобы монотонно возраст послед сходилась необходимо и достаточно чтобы она была ограничена сверху.

Следствие2: Если {[ an , bn ]}– последовательность стягивающихся отрезков, содержащих отрезки сколь угодно малой длины, то существует γ  R nN (γ[ an , bn]) ^ lim(n+) an = lim(n+) bn = γ

2) (Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Опр: Подпоследовательность называется фундаментальной , если >0  N N n,m N(n,m>N => | an- am | <)

3)