4.(Определение предела последовательности. Единственность предела сходящейся последовательности)

1.Определение предела последовательности

f: N→ ‌‌‌‌‌‍‍‍R называется последовательностью.

Значение f(n) - называют членами последовательности. {Xn}

Xn – члены последовательности.

Т.к последовательность это функция с областью определения из натуральных чисел, то все понятия рассмотренные выше справедливы и для нее.

Опр.предела: A R U {+,-, }элемент А называется пределом числовой последовательности, если для любой окрестности точки А существует номер N , такой что все члены последовательности с номерами большими чем N попадают в указанную окрестность.

Обозначается: A=lim(n+) xn =>ε>0 N  N n N (n>N => xn Uε(A)).

Опр: Если А= lim(n+) xn, то говорят что последовательность Xn стремится или сходится к А и пишут: xn→A при n→+∞.

Опр: Если последовательность имеет конечный предел, то ее называют сходящейся в противном случае расходящейся.

Рекомендация: Для того чтобы последовательность имела предел необходимо по произвольно взятому ε сконструировать номер N, такой что множество номеров N окажестся множеством решений нервенства: xn  Uε(A) .

2. Теорема(Единственность предела сходящейся последовательности.) : Если последовательность Xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во: