32. Исследование функции с помощью производной. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремумов.

Точкой max(min) функции f(x) с областью определения Df

называется точка ,если существует V(, на которой

выполняются условия:

Геометрически точки max и min являются вершинами

выпуклости и вогнутости.

Точки max и min носят общее название точек экстремума

Теорема. Необходимое условие экстремума

Пусть функция f(x) дифференцируема на Х,-точка экстремума, тогда f’(x)=0.

Д-во.

По т. Ферма.

Точки, в которых производная обращается в 0 называются стационарными.

Точки, в которых производная не существует или обращается в ∞ называются критическими.

Все они носят общее название подозрительных на экстремумы.

Теорема.

Пусть -внутренняя точка Df, V() непрерывна и дифференцируема,

тогда при переходе через производная меняет знак с «+» на «-»

(«-» на «+»),то - точка max(min).

Д-во.

Для определенности предположим, что производная меняет знак с «+» на «-», тогда :

и .

Рассмотрим на этих отрезках функции f

удовлетворяют условия возрастания и убывания соответственно, тогда

=>

Данное условие верно для всех подозрительных на экстремумы точек.

Теорема. Достаточное условие экстремумов для стационарных точек

Пусть -внутренняя точка области определения, которая является стационарной.

Пусть в точке функция является дважды дифференцируемой,

тогда является точкой экстремума, причем min(max), если f”()>0(f”()<0).

∊Df называется точкой наибольшего(наименьшего) значения,

если .

Если - точка наибольшего(наименьшего) значения, причем внутренняя,

то она является точкой экстремума

Алгоритм нахождения наим(наиб) значения:

Находим все подозрительные на экстремумы точки ∊ отрезку

Вычисляем значение функции на концах отрезка и в найденных точках

Выбираем самое маленькое и самое большое значение