32. Исследование функции с помощью производной. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремумов.
Точкой max(min) функции f(x) с областью определения Df
называется
точка
,если
существует V(
,
на которой
Геометрически точки max и min являются вершинами
выпуклости и вогнутости.
Точки max и min носят общее название точек экстремума
Теорема. Необходимое условие экстремума
Пусть
функция f(x)
дифференцируема на Х,-точка
экстремума, тогда f’(x)=0.
Д-во.
По т. Ферма.
Точки, в которых производная обращается в 0 называются стационарными.
Точки, в которых производная не существует или обращается в ∞ называются критическими.
Все они носят общее название подозрительных на экстремумы.
Теорема.
Пусть
-внутренняя
точка Df,
V(
)
непрерывна и дифференцируема,
тогда
при переходе через
производная меняет знак с «+» на «-»
(«-» на
«+»),то
-
точка max(min).
Д-во.
Для определенности предположим, что производная меняет знак с «+» на «-», тогда :
и
.
Рассмотрим
на
этих отрезках функции f
удовлетворяют условия возрастания и убывания соответственно, тогда
=>
Данное условие верно для всех подозрительных на экстремумы точек.
Теорема. Достаточное условие экстремумов для стационарных точек
Пусть
-внутренняя
точка области определения, которая
является стационарной.
Пусть
в точке
функция является дважды дифференцируемой,
тогда
является точкой экстремума, причем
min(max),
если f”(
)>0(f”(
)<0).
∊Df
называется точкой наибольшего(наименьшего)
значения,
если
.
Если
-
точка наибольшего(наименьшего) значения,
причем внутренняя,
то она является точкой экстремума
Алгоритм нахождения наим(наиб) значения:
Находим все подозрительные на экстремумы точки ∊ отрезку
Вычисляем значение функции на концах отрезка и в найденных точках
Выбираем самое маленькое и самое большое значение