17. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть f непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0. Тогда существует точка с принадлежащяя (a,b) такая, что f(c)=0.

Док-во: Разделим отрезок [a;b] точкой х=a+b/2  на 2 равных отрезка, если f(х)=0 , то теорема доказана , если же f(х)0 , то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок. разбиваем точкой х1 на две равные части. Если f(х1)=0 , то теорема доказана, если же f(х)0 , на некотором k∈N шаге  будем иметь f(хk)=0  и тогда теорема доказана , или получаем систему стягивающих отрезков ,длинны которых стремятся к 0,при к.^x0==.по построению отрезков получаем f() f()<0(*)

f(x) непрерывная на отр [a,b]=>∀n∈N(f(x) непрерывна на =>(по(*))=>(свойства пределов функции)f()≤0=>f(x0)f(x0)≤0=>f²(x0)≤0<=> f²(x0)=0<=>f(x0)=0=>∃c=x∈(a,b)(f(c)=0).

Следствие.(о корне алгебраических уравнений не чётной степени).Любое уравнение нечётной степени имеет хотя бы 1 корень.

Вторая теорема Больцано – Коши(о промежуточном значении непрерывной функции)/пусть F(X)непрерывна на [a,b].f(a)=.тогда любое значение между f(x) принимает хотя бы в 1 точке с(а,b).Док-во:пусть для определенности ,тогда по аксиоме непрерывности).рассмотрим [a,b])^( с(а,b)( с(а,b)()

Следствие: Если f(x) определена и непрерывна в каком-либо промежутке Х, то принимаемые ею значения так же заполняют некоторый промежуток.