14.Определение непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций

О: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,если выполняется одно из эквивалентных условий:

1.

2.

3.б.м. при х

4.если б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращение функции ,т.е.

Докажем эквивалентность 1 и 4 условия:

(над значком х=х0+)=0,т.е.

Если хотя бы одно из условий 1-4 нарушается,то говорят,что функция f(x) терпит разрыв в точке х0.

А х0- точка разрыва

О: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа(слева)если:

Lim xf(x)=f(x0) lim x f(x)=f(x0)

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций

– есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если f(x)непрерывна в т.х0 , g(x) – непрерывна в точке у₀=f(x0) , то функция g(f(x)) – тоже непрерывная функция точке x0.

Док-во:

g(y) непр. в у0(и f(x) непр.в точке х0)(|y-y0|<|<) ^(|x-x0|<(|x-x0|<|y-y0|<|<g(f(x0))|<(|x-x0|<g(f(x0))|<-непрерывна в точке х0.

Все рассмотренные выше элементарные функции непрерывны к каждой точке своей области определения.

Док-во:

Пусть х0 произвольно взятая f(х)=sin х

(*)

Для фиксированного в точке х0 такую,что для всех толчек из этой окрестности значение функции удовлетворяет неравенству (*)

|sinx-sinx0|<|2sin x-x0/2 cos x+x0/2|<|2sin x-x0/2 |<2 x-x0/2|<x-x0|<)|x-x0|<.