1.Аксиоматическое определение мн-ва действительных чисел . Св-во полноты.

Опр. Мн-во R назыв. Мн-ов действительных (вещественных) чисел,а его элементы действ-ми числами,если

выполняются след. аксиомы:

1)аксиомы сложения: А0: a,b R !с R (a+b=c)

A1: a,b,с R (a+(b+c)=(a+b)+c)

A2: 1) 0 R a (a+0=0+a)

2) a R -a R (a+(-a)=(-a)+a=0)

A’1: : a,b R (a+b=b+a)

2) аксиомы умножения: М0: a,b R !с R (a*b=c)

М1: a,b,с R (a*(b*c)=(a*b)*c)

М2: 1) 1 R a R (a*1=1*a)

2) a R  R (a*=*a=1)

М’1: : a,b R (a*b=b*a)

3) связь 1-2.аксиома дистрибутивности: D1: a,b,с R (a*(b+c)=a*b+a*c)

4)аксиомы порядка: П1: a R (а≤a)(рефлексивность)

П2: a,b R ((a≤b)^(b≤a)=>a=b(антисимметричность)

П3: a,b,с R((a≤b)^(b≤c)=>(a≤c)(транзитивность)

П4: a,b R((a≤b)v(b≤a))(линейная упорядочность)

П5: a,b,с R((a≤b)=>((a+c)≤(b+c))(связь сложения и порядка)

П6 a,b,с R((0≤а)^(0≤b)=>(0≤a*b))(связь умножения и порядка)

5)аксиомы полноты(непрерывности): H1: A,B ⊂R ^A,B≠⊘aR^b R(a≤b)  E R(a ≤E ≤b)

Пусть Х-непустое,ограниченное сверху(снизу) мн-во.В(Н)-мн-во всех верхних(нижних) граней,тогда

b R(xX(xb)^ b’B(b≤b’)  bH(xX(x≥b)^b’B(b’≤b)